TOPSIS（优劣解距离法）

理想解的排序方法

TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，优劣解距离法) 由 C. L. Hwang 和 K. Yoon 于 1981 年首次提出，基于他们的著作《Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications》，是一种多目标决策分析中常用的综合评价方法。

相比于 AHP 层次分析法的主观打分，TOPSIS 更依赖于真实的客观数据，且对样本量和指标个数没有严格限制，在数据齐全的评价类问题中非常实用。

适用场景

• 绩效评估：如医院医疗质量评价、企业员工考核。
• 方案优选：如供应商选择、厂址选择。
• 综合排名：如各省市经济发展水平排名、生态环境质量评价。

相关衍生

• 熵权 TOPSIS / AHP TOPSIS：先用熵权法或 AHP 求指标权重，再用 TOPSIS 计算相对贴近度，是最常见的组合形式。
• 灰色关联 TOPSIS：用灰色关联度刻画“形状相似性”，并与欧氏距离等信息综合，适合样本少、信息不完备的情形。
• 模糊 TOPSIS / 直觉模糊 TOPSIS：将指标值表示为模糊数或直觉模糊集，处理“语言评价、不确定区间、犹豫度”等不确定信息。
• 混合 TOPSIS：面向混合型指标（精确值、区间数、序数/语言变量等），在规范化、理想点构造与距离度量上做扩展。

模型原理

TOPSIS 方法的基本原理是：通过检测评价对象与最优解（正理想解）和最劣解（负理想解）的距离，来进行排序。若某评价对象最靠近正理想解，同时又最远离负理想解，则认为它是最好（最优）的备选方案。

主要步骤

假设有 个评价对象，每个对象有 个评价指标，构成原始数据矩阵 。

第1步：原始矩阵正向化

在实际问题中，指标通常有不同类型：

• 极大型指标（效益型）：越大越好（如利润、成绩）。
• 极小型指标（成本型）：越小越好（如成本、污染率）。
• 中间型指标：越接近某个特定值越好（如水体PH值）。
• 区间型指标：落在某个区间内最好（如人的体温）。

为了方便统一计算，首先需要将所有非极大型指标转化为极大型指标，这个过程称为正向化。

1. 极小型 极大型
2. 中间型 极大型（设最理想的值为 ）
3. 区间型 极大型（设最理想的区间为 ，令 ）

经过正向化处理后，得到新的矩阵 ，此时所有指标都是“越大越好”。

第2步：数据标准化与加权

为了消除不同指标之间量纲（单位）的影响，需要对正向化后的矩阵进行标准化（无量纲化）处理。TOPSIS 中最常用的是向量归一化（即除以该列元素的平方和的平方根）：

得到标准化矩阵 。

（可选）构造加权标准化矩阵

在实际问题中，各个指标的重要性往往不同。如果已知各指标的权重 （满足 ），我们需要将权重乘入标准化矩阵中，得到加权标准化矩阵 ：

若未给定权重，则默认各指标权重相等，直接取 进行后续计算即可。

第3步：确定正理想解与负理想解

在加权标准化矩阵 中，找出每一列（即每个指标）的最大值和最小值，分别构成正理想解 和负理想解 ：

• 正理想解（所有指标的最优值组合）：
• 负理想解（所有指标的最劣值组合）：

第4步：计算距离与综合得分

计算第 个评价对象与正理想解的欧氏距离 ，以及与负理想解的欧氏距离 ：

最后，计算第 个评价对象的综合得分（相对贴近度） ：

• 显然，。
• 越大，说明 越小（越靠近最优解）， 越大（越远离最劣解），该评价对象越优秀。
• 根据 的大小对各评价对象进行降序排列，即可得到最终的评价结果。

关于权重的来源

在上述流程中，如果权重 是通过熵权法客观计算得出的，整个过程即为熵权-TOPSIS；如果是通过层次分析法 (AHP) 主观打分得出的，则为AHP-TOPSIS。这也是实际数学建模比赛中最常见、最实用的组合评价模型。

优缺点与注意事项

• 优点：思路直观、计算简单；能同时考虑 “接近最优” 和 “远离最劣”；对样本量与指标个数限制较少。
• 局限：结果对标准化方式与权重较敏感；欧氏距离容易受极端值影响；默认指标相互独立、可比。
• 实践建议：成本型指标要么先正向化、要么在理想解构造时用 “最小为正理想、最大为负理想”，避免重复处理；若某列全相等导致标准化分母为 0，可将该列标准化结果置为 0 并视为 “无区分力” 指标。

完整代码实现（Python / MATLAB）

下面给出一份可以直接复用的 TOPSIS 代码模板。

Python（NumPy）

import numpy as np
import io

def topsis_calculator(matrix_str, kinds):
    """
    计算 TOPSIS 综合评价得分及排名
    
    参数:
    matrix_str : str, 评估矩阵的字符串形式
    kinds      : list, 每一列指标的类型和参数
                 - 1: 极大型
                 - 2: 极小型
                 - 3: 中间型，例如 (3, 165) 表示最佳值为 165
                 - 4: 区间型，例如 (4, 90, 100) 表示最佳区间为 [90, 100]
    """
    # 1. 解析矩阵
    A = np.loadtxt(io.StringIO(matrix_str.strip()))
    X = A.copy()

    # 2. 指标正向化
    for i, k in enumerate(kinds):
        col = X[:, i]
        k_type = k[0] if isinstance(k, (list, tuple)) else k  # 获取指标大类
        
        if k_type == 2:   # 极小型
            X[:, i] = np.max(col) - col
        elif k_type == 3: # 中间型 (k[1] 为最优值)
            M = np.max(np.abs(col - k[1])) or 1
            X[:, i] = 1 - np.abs(col - k[1]) / M
        elif k_type == 4: # 区间型 (k[1] 为下限, k[2] 为上限)
            _, a, b = k
            M = max(a - np.min(col), np.max(col) - b) or 1
            X[:, i] = np.where(col < a, 1 - (a - col) / M, np.where(col > b, 1 - (col - b) / M, 1))

    # 3. 矩阵标准化 
    Z = X / np.sqrt(np.sum(X**2, axis=0))

    # 4. 计算距离与得分
    d_z = np.linalg.norm(Z - np.max(Z, axis=0), axis=1) # 距离正理想解
    d_f = np.linalg.norm(Z - np.min(Z, axis=0), axis=1) # 距离负理想解

    score = d_f / (d_z + d_f)
    Score_100 = 100 * score / np.sum(score)             # 归一化百分制得分

    # 5. 输出结果
    print("--- TOPSIS 评估结果 ---")
    for i, s in enumerate(Score_100):
        print(f"方案 {i+1} 得分: {s:.4f}")

    # argsort排序逻辑：加负号变降序，再argsort得到名次
    print(f"\n综合排名: {np.argsort(-Score_100) + 1}")
    
    return Score_100

if __name__ == "__main__":
    # TODO: 在此处手动输入或替换为你的评估矩阵
    matrix_str = """
    9  10 175 120
    8  7  164 80
    6  3  157 90
    """

    # TODO: 定义每一列指标的类型和参数
    kinds =[1, 2, (3, 165), (4, 90, 100)]
    
    topsis_calculator(matrix_str, kinds)

MATLAB

clc, clear;

% TODO: 请在此处手动输入评估矩阵 X
X = [
    9 10 175 120; 
    8 7  164 80; 
    6 3  157 90
];

% TODO: 定义每一列指标的类型和参数
% 1: 极大型
% 2: 极小型
% 3: 中间型，例如 [3, 165] 表示最佳值为165
% 4: 区间型，例如 [4, 90, 100] 表示最佳区间为[90, 100]
kinds = {1, 2, [3, 165], [4, 90, 100]};
% ====================================================

% --- 核心算法区 ---
[n, m] = size(X);
X_forward = X;

% 1. 指标正向化
for i = 1:m
    k = kinds{i};
    type = k(1);
    col = X(:, i);
    
    if type == 2       % 极小型
        X_forward(:, i) = max(col) - col;
    elseif type == 3   % 中间型
        M = max(abs(col - k(2)));
        X_forward(:, i) = 1 - abs(col - k(2)) / max(M, eps); % max(M, eps) 防止分母为0
    elseif type == 4   % 区间型
        a = k(2); b = k(3);
        M = max([a - min(col), max(col) - b]);
        M = max(M, eps); % 防止分母为0
        
        new_col = ones(n, 1); % 默认落在区间内，值为1
        new_col(col < a) = 1 - (a - col(col < a)) / M; % 小于下限的逻辑计算并替换
        new_col(col > b) = 1 - (col(col > b) - b) / M; % 大于上限的逻辑计算并替换
        X_forward(:, i) = new_col;
    end
end

% 2. 矩阵标准化
Z = X_forward ./ vecnorm(X_forward, 2, 1);

% 3. 计算距离与得分
D_P = vecnorm(Z - max(Z), 2, 2); % 距离正理想解的距离
D_N = vecnorm(Z - min(Z), 2, 2); % 距离负理想解的距离

% 4. 百分制得分
score = D_N ./ (D_P + D_N);
Score_100 = 100 * score / sum(score);

% 5. 综合排名排序
[~, rank_idx] = sort(Score_100, 'descend');
final_rank = zeros(n, 1);
final_rank(rank_idx) = 1:n;

% --- 输出结果 ---
disp('====== TOPSIS 评估结果 ======')
result_table = table((1:n)', Score_100, final_rank, 'VariableNames', {'方案', '百分制得分', '综合排名'});
disp(result_table)

参考资料

• TOPSIS（逼近理想解）算法原理详解与代码实现 - 知乎
• 优劣解距离法 (TOPSIS) - SPSSPRO 帮助中心